Uma série é uma sucessão de elementos que, ordenados, mantêm um certo vínculo entre si. A noção de infinito, por sua vez, diz respeito àquilo que não tem fim.
Uma série infinita, por conseguinte, é uma sequência de unidades que não acaba. O conceito oposto é o de série finita, que se caracteriza por finalizar num determinado momento.
Podemos compreender a noção de série infinita se pensarmos em certas séries numéricas. Peguemos no caso da série numérica composta pelos números múltiplos de 2. Essa série é uma série infinita já que os números múltiplos de 2 são infinitos: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…
Pode-se considerar as séries como conjuntos. A série numérica de números positivos ímpares menores a 10, neste sentido, é o conjunto que inclui os números 1, 3, 5, 7 e 9. Como se pode assinalar, trata-se de uma série finita. Em contrapartida, se quiséssemos fazer referência à série de números ímpares, será uma série infinita: um conjunto com componentes infinitos.
Visto que os números são infinitos, podemos enumerar todo o tipo de séries numéricas infinitas.
Aliás, é possível considerar séries infinitas descendentes: por exemplo, se mencionarmos a série composta pelos números menores a 1: 0, -1, -2, -3, -4, -5, -6…
Para além de tudo o que foi exposto acima, não podemos ignorar o facto de serem muitos e diversos os tipos de séries infinitas que existem. No entanto, entre as mais significativas podemos destacar, por exemplo, os seguintes:
-Série harmónica.
-Série geométrica. Sob esta denominação encontra-se, por exemplo, uma série de tipo infinito que se caracteriza pelo facto de cada termo se obter a partir da multiplicação do termo anterior por uma constante determinada.
-Série convergente. Na hora de poder determinar se uma série infinita é ou não convergente, pode-se recorrer a diversas ferramentas. Mais concretamente, entre as mais habituais encontram-se as p-séries, que são somatórios de funções; o teorema das séries geométricas, o critério de comparação directa, o critério de comparação por passagem do limite do cociente, o critério da integral de Cauchy, o critério de d´Alembert e o critério de Leibniz, entre muitas outras.
Por norma, no âmbito da matemática, as séries infinitas surgem a partir de diferentes algoritmos, fórmulas ou regras. Deste modo, as séries infinitas podem servir para a representação de funções.
Uma das figuras mais importantes em matéria de séries infinitas foi e é o matemático e físico suíço Leonhard Euler (1707 – 1783), que é considerado o matemático mais importante do século XVIII.
No caso que nos importa, deve-se destacar o facto de ter optado por realizar uma exaustiva investigação em termos de desenvolvimento do cálculo, tendo sendo isso que propiciou que se estabelecesse a constante matemática como e, a que procedeu a representar não só como uma fracção contínua como também como um número real ou uma série infinita.
Equipe editorial de Conceito.de. (24 de Julho de 2016). Atualizado em 13 de Julho de 2023. Série infinita - O que é, conceito e definição. Conceito.de. https://conceito.de/serie-infinita