Uma relação é um vínculo ou uma correspondência. No caso da relação matemática, trata-se da correspondência que existe entre dois conjuntos: a cada elemento do primeiro conjunto corresponde pelo menos um elemento do segundo conjunto.
Quando a cada elemento de um conjunto corresponde unicamente um ou outro, fala-se de função. Isto significa que as funções matemáticas são sempre, por sua vez, relações matemáticas, mas que as relações nem sempre são funções.
Numa relação matemática (ou função matemática), ao primeiro conjunto dá-se-lhe o nome de domínio, ao passo que o segundo conjunto se chama codomínio. As relações matemáticas existentes entre eles podem ser representadas no esquema chamado plano cartesiano.
Suponhamos que o domínio se chama M e o condomínio, N. Uma relação matemática de M em N será um subconjunto do produto cartesiano M x N. As relações, por outras palavras, serão pares ordenados que associem elementos de M com elementos de N.
Se M = {5, 7} y N = {3, 6, 8}, o produto cartesiano de M x N serão os seguintes pares ordenados:
M x N = {(5, 3), (5, 6), (5, 8), (7, 3), (7, 6), (7, 8)}
Com este produto cartesiano, podem-se definir diferentes relações. A relação matemática do conjunto de pares cujo segundo elemento é menor a 7 é R = {(5, 3), (5, 6), (7, 3), (7, 6)}
Outra relação matemática que se pode definir é aquela do conjunto de pares cujo segundo elemento é par: R = {(5, 6), (5, 8), (7, 6), (7, 8)}
As aplicações das relações matemáticas ultrapassam os limites da ciência, uma vez que no nosso dia-a-dia costumamos recorrer aos seus princípios, muitas das vezes de forma inconsciente. Seres humanos, edifícios, eletrodomésticos, filmes e amigos, entre outros muitos, são alguns dos conjuntos mais comuns de interesse para a nossa espécie, e diariamente estabelecemos relações entre eles para nos organizarmos e participarmos das nossas atividades.
De acordo com o número de conjuntos que participem do produto cartesiano, é possível reconhecer diversos tipos de relação matemática, entre as quais destacamos a relação unária, a relação binária, a relação ternária.
Tendo uma tabela com os números (em ordem) 3, 4 e 5 de um lado (coluna Y) e os números 2, 3 e 4 do outro lado (coluna X), então teríamos ao centro a expressão (também chamada de função) y = 2 + x.
Poderíamos usar como exemplo o seguinte:
Y = 1 + x
Que poderia ser:
Y = 1 + 3 = 4 (que é o número do outro lado, na tabela X).
Ou também:
Y = 1 + 4 = 5 (que é outro número do outro lado, na tabela X).
E também o seguinte:
Y = 1 + 5 = 6 (mais um número do outro lado da tabela, na coluna X).
Um exemplo na situação cotidiana seria se uma pessoa possuísse um dólar, se ela ganha mais três dólares, então fica com quatro dólares. Se ela tinha um dólar e ganha agora mais quatro dólares, então fica com cindo dólares.
Na tabela exemplificada, através da função que propomos, sempre que o Y for 3 o X será 2, sempre que o X for 3, então o Y será 4, quando o Y for 5 o X será 4.
Assim, esse é um exemplo de uma relação, onde trabalhamos os elementos que estão nas duas colunas exemplificadas (a coluna do X e a coluna do Y).
Essa relação matemática pode tanto ser representada por meio do diagrama de venn (com dois balões), como também no plano cartesiano, como já mencionado.
No Brasil, é comum o uso dos termos domínio e imagem para se referir ao domínio e codomínio, onde, do mesmo modo, tendo-se um conjunto A do lado esquerdo e um conjunto B no lado direito numa representação cartesiana, domínio seriam os elementos no conjunto A na representação, enquanto que imagem seria a relação com o conjunto B.
Equipe editorial de Conceito.de. (17 de Janeiro de 2016). Atualizado em 4 de Maio de 2021. Relação matemática - O que é, conceito e definição. Conceito.de. https://conceito.de/relacao-matematica