Produto cartesiano é um termo usado no âmbito da matemática, mais precisamente no campo da álgebra. O produto cartesiano revela uma relação de ordem entre dois conjuntos, constituindo-se como um terceiro conjunto.
O produto cartesiano de um conjunto A e de um conjunto B é o conjunto constituído pela totalidade dos pares ordenados que têm um primeiro componente em A e um segundo componente em B.
Vejamos um exemplo. Sendo o conjunto A formado pelos elementos 3, 5, 7 e 9, ao passo que o conjunto B alberga os elementos m e r, o produto cartesiano de ambos os conjuntos é o seguinte:
A x B = {(3,m), (3,r), (5, m), (5,r), (7,m), (7,r), (9,r), (9,r)}
O produto cartesiano, por conseguinte, é formado por todos os pares ordenados que se podem formar a partir de dois determinados conjuntos. Cada par ordenado é constituído por dois elementos: o primeiro elemento pertence a um conjunto e o segundo elemento, ao outro. Se continuarmos com o nosso exemplo, no par ordenado (3,m), 3 é o primeiro elemento (corresponde ao conjunto A) e m é o segundo elemento (pertencente ao conjunto B).
Suponhamos que, numa casa, há três pessoas (Carlos, João e Antónia) e dois livros (Ensaio sobre a Cegueira e Só). O produto cartesiano de ambos os conjuntos (pessoas e livros) será formado por todas as repartições possíveis das obras literárias entre os indivíduos.
P x L = {(Carlos, Ensaio sobre a Cegueira), (Carlos, Só), (Juan, Ensaio sobre a Cegueira), (Juan, Só), (Antónia, Ensaio sobre a Cegueira), (Antónia, Só)}
Essa informação pode ser útil para criar um organigrama que especifique como se irão distribuir os dois livros para que todos tenham a oportunidade de os ler a um determinado momento.
Produto cartesiano na teoria dos conjuntos e computação
O produto cartesiano se trata de um conceito essencial tanto na teoria dos conjuntos quanto na computação. Ele detém um papel importante em variados campos, desde a geometria analítica até a representação de dados nos computadores.
Teoria dos conjuntos e produto cartesiano
Na teoria dos conjuntos, o produto cartesiano se traduz numa operação que alia elementos de dois conjuntos distintos a fim de criar um novo conjunto.
Considerando dois conjuntos A e B, o produto cartesiano A × B se trata de todos os pares ordenados (a, b), com “a” pertencendo a A e “b” pertencendo a B.
Cada par ordenado retrata uma relação que há entre elementos de A e B. Por exemplo: se A for o conjunto de números inteiros e B for o conjunto de números reais, então o produto cartesiano A × B possuirá todos os pares possíveis tanto de um número inteiro quanto de um número real.
Geometria analítica e coordenadas cartesianas
O produto cartesiano encontra-se intrinsecamente ligado às coordenadas cartesianas e também à geometria analítica. Num plano cartesiano, cada ponto seria representado por meio de um par ordenado (x, y), onde “x” seria a coordenada horizontal e “y” seria a coordenada vertical.
O plano cartesiano é fruto do produto cartesiano entre o conjunto dos números reais (representado pelo eixo x) e o conjunto dos números reais (o eixo y). tanto retas quanto curvas e formas geométricas poderiam ser descritas através de equações que ligam as coordenadas cartesianas.
Computação e produto cartesiano
Na computação, o produto cartesiano é aplicado com o objetivo de representar conjuntos de dados. Nos bancos de dados, por exemplo, o produto cartesiano de duas tabelas liga as linhas da primeira tabela com as linhas da segunda tabela, gerando um conjunto de todas as combinações possíveis. E isso é crucial para consultas e análises mais complexas.
Aplicações além da teoria dos conjuntos e computação
Mas além das aplicações citadas, o produto cartesiano possui ainda um papel em áreas como: álgebra linear e cálculo.
No caso da álgebra linear, o conceito de vetor seria introduzido através do produto cartesiano. Um vetor que estiver no espaço tridimensional, por exemplo, seria representado como pertencente ao produto cartesiano dos conjuntos dos números reais em eixos x, y e z.
Além do mais, o produto cartesiano é usado na definição da estrutura de espaços vetoriais de modo geral, constituindo operações e propriedades essenciais para a álgebra linear.
Equipe editorial de Conceito.de. (6 de Setembro de 2015). Atualizado em 6 de Agosto de 2023. Produto cartesiano - O que é, conceito, teoria e aplicações. Conceito.de. https://conceito.de/produto-cartesiano