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Conceito de regra de correspondência

Uma regra de correspondência consiste em atribuir um elemento único de um determinado conjunto a cada elemento único de outro conjunto. Este conceito é de uso frequente quando se trabalha com funções matemáticas.

Ao definir uma função matemática, aquilo que se faz é estabelecer o meio através do qual se devem realizar as correspondências entre dois conjuntos. A função por si só, por conseguinte, actua como regra de correspondência. Dito de outra forma, o cálculo de uma função consiste em descobrir qual é a correspondência geral que existe num conjunto relativamente a outro.

Podemos fazer a distinção entre duas grandes classes de regras de correspondência. A correspondência unívoca implica que a cada elemento do conjunto conhecido como Domínio corresponde um único elemento de um chamado Codomínio. A correspondência biunívoca, por sua vez, supõe que a correspondência inversa também é unívoca (isto é, a cada elemento do Codomínio corresponde um só elemento do Domínio).

Destas primeiras definições básicas pode-se deduzir que para que uma correspondência seja biunívoca também deve ser unívoca. Por outro lado, cabe mencionar que nem sempre a cada um dos elementos do primeiro conjunto corresponde uma imagem, nem os do segundo tem uma origem.

Pensando por um momento na teoria dos conjuntos, a representação gráfica de todas as correspondências possíveis entre dois conjuntos (domínio e condomínio) remete-nos para outros dois: o das correspondências unívocas (ao qual podemos chamar A) e o das biunívocas (B). Ao observar este último num diagrama de Venn (a forma clássica de representar graficamente os conjuntos, geralmente com círculos ou óvalos que encerram os elementos de cada conjunto), evidencia-se claramente que B é um subconjunto de A.

Por exemplo, peguemos num conjunto A, que é formado por 3, 4 e 5, e um conjunto B, o qual é composto por 9, 12 e 15. A correspondência entre ambos é o triplo. Deste modo, a regra de correspondência permite vincular cada elemento do Domínio (o conjunto A) a um elemento do Codomínio (o conjunto B).

f(x) =3x
f(3) = 3×3 = 9
f(4) = 3×4 = 12
f (5) = 3×5 = 15
Domínio = {3,4,5}
Codomínio = {9,12,15}

Esta regra de correspondência também pode ser representada em esquema. Há que incluir cada elemento dentro do seu conjunto correspondente (3, 4 y 5 no conjunto A e 9, 12 e 15 no conjunto B) e depois unir cada elemento com uma seta de acordo com a regra de correspondência.

No entanto, as regras de correspondência não se limitam a estas duas possibilidades; por exemplo, a não unívoca ocorre quando existe no mínimo um elemento do primeiro conjunto para o qual há duas imagens ou mais. O exemplo antes mencionado não serviria para entender esta situação, já que a cada número só corresponde um triplo; mas, se falarmos de um conjunto domínio de pessoas e um codomínio de países, e os relacionarmos conforme os países que cada pessoa tenha visitado, é provável que algumas nunca tenham viajado, que outras simplesmente tenham ido para um só e que as restantes tenham conhecido mais de um.

A correspondência unívoca, não biunívoca, por sua vez, é aquela na qual cada elemento do domínio corresponde uma única imagem, mas isto não acontece sentido contrário. Se nenhum das pessoas do exemplo anterior tiver viajado até mais de um país, mas se duas delas tiverem visitado o mesmo, então esse país tem duas ou mais origens.

Na hora de estabelecer uma regra de correspondência, devemos ter em conta diferentes elementos e conceitos. Um deles é a linha, que define o conjunto de valores possíveis para a variável dependente, ou seja, a que depende da escolhida no domínio.

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