Conceito de progressão geométrica


Out 12, 15

A noção de progressão pode associar-se a uma sucessão, um progresso, um desenvolvimento ou um avanço de algo. Geométrico, por sua vez, é um adjectivo associado à geometria (o ramo da matemática orientada para a análise das características das figuras num espaço ou num plano).

Estas definições ajudam-nos a compreender a que se refere a ideia de progressão geométrica. Trata-se de uma sequência formada por elementos sucessivos, obtidos através da multiplicação do elemento prévio por um valor constante. Essa constante recebe o nome de factor ou razão.

O habitual é que uma progressão geométrica se refira a uma sequência que dispõe de um número finito de termos. Em contrapartida, se a sequência se estender até ao infinito, costuma-se falar de sucessão geométrica.
Uma progressão geométrica cuja razão seja 5 seria a seguinte: 5, 25, 125, 625, 3125, 15625. Como se pode observar, essa progressão consegue-se multiplicando cada termo por 5: 5 x 5 = 25; 25 x 5 = 125; 125 x 5 = 625; 625 x 5 = 3125; 3125 x 5= 15625.

Dentro do âmbito dessa progressão geométrica, temos que frisar que existe aquilo que se dá pelo nome de interpolação de termos. Este é usado para definir o que é a construção de uma progressão geométrica que se identifique pelo facto de os seus extremos terem determinados números. Posto isto, por exemplo, estabelece-se que ao interpolar três números entre 3 e 48 o resultado será definido pelo 6, pelo 12 e pelo 24.

Como se pode calcular essa interpolação? Levando basicamente a cabo a seguinte fórmula:
r = m+1 √b/a

Nessa fórmula, m corresponde ao número de meios que é necessário interpolar e tanto b como a são os números que se situam nos extremos. Ora, no exemplo dado anteriormente, m seria o número 3, b seria 48 e a seria o 3.
Da mesma forma, não podemos ignorar que se podem levar a cabo outra série de operações matemáticas com aquilo que é qualquer progressão geométrica. Mais concretamente, pode-se proceder à soma de um determinado número dos termos consecutivos numa progressão qualquer, e inclusive também se esta for decrescente.

É interessante saber neste sentido que a soma dos termos da progressão é igual ao último termo pela razão menos o primeiro termo dividido pela razão menos 1.

Mas ainda há mais. Também se pode realizar o produto de um determinado número de termos equidistantes de uma progressão geométrica.

É importante ter em conta que o factor constante de uma progressão geométrica pode um número negativo ou mesmo um número fraccionário. Quando a razão é um número negativo, os elementos da progressão geométrica alternarão entre valores positivos e negativos:
Progressão geométrica com factor -3: 8; -24; 72; -216.
Progressão geométrica com factor 1,5: 2; 3; 4,5; 6,75.
Cabe destacar, por último, que se o factor for 1, a progressão geométrica será constante:
Progressão geométrica com factor 1: 5, 5, 5, 5, 5 (já que 5 x 1 = 5; 5 x 1 = 5, etc.)