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Conceito de semi-plano

O conceito de semi-plano é utilizado no âmbito da geometria para denominar as porções de um plano que estão delimitadas por qualquer das suas rectas. Cabe destacar que cada recta divide o plano em duas porções (isto é, em dois semi-planos).

Para entender o que é um semiplano, é imprescindível compreender a noção de plano. Pode-se dizer que um plano é um objecto geométrico ideal que alberga uma quantidade infinita de rectas e de pontos e que tem apenas duas dimensões. O plano, a recta e o ponto são os conceitos essenciais da especialidade da matemática que conhecemos pelo nome de geometria.

Os planos, por conseguinte, dividem-se em semi-planos pelas rectas que o atravessam. Cada uma das rectas, deste modo, dá origem a dois semiplanos no plano. Estes semi-planos, obviamente, não têm necessariamente as mesmas dimensões.

As leis da geometria indicam que por cada dois semi-planos criados por uma recta x existe uma quantidade infinita de pontos. Todo ponto pertencente ao plano em questão, por outro lado, pertence a algum dos dois semi-planos determinados pela recta ou à própria recta.

Dois pontos contidos no mesmo semi-plano, além do mais, formam um segmento que não se cruza com a recta x, ao passo que dos pontos contidos em diferentes semi-planos criam um segmento que corta a recta x.

Da mesma forma, não nos podemos esquecer que existem dois tipos fundamentais de semi-planos:
-Semi-plano aberto, sendo aquele no qual a intersecção é a recta borde comum. Ou seja, que não contem a linha que o cruza.
-Semi-plano fechado. Sob esta denominação encontra-se o semiplano que, ao contrário do anterior, contem a dita linha encarregue de o delimitar.

Posto isto:
Se o semiplano 1 albergar o ponto P e o semiplano 2 contiver o ponto S, logo o segmento PS cortará a recta X. Por outro lado, se o semiplano 1 contar com os pontos P e W, o segmento PW não cortará a recta.

Assim sendo, há outros dados de interesse que vale a pena conhecer deste elemento que aqui nos importa, como acontece com os seguintes:
-Qualquer ponto de um plano pertence à recta da divisão ou então a um dos tais semi-planos.
-Qualquer segmento que esteja determinado por dois dos pontos do mesmo semi-plano não corta com a chamada recta de divisão. Antes pelo contrário, qualquer segmento que esteja determinado por dois pontos dos diferentes semi-planos, nesse caso sim, corta a tal recta de divisão.

Além do mais, não podemos ignorar o facto de haver diferentes tipos de semi-planos que se converteram em elementos fundamentais da Geometria, como é o caso, por exemplo, do chamado semi-plano de Poincaré ou semiplano superior de Poincaré, que foi descoberto pelo matemático que lhe deu o nome.
Basicamente sob esta denominação encontra-se um modelo de semi-plano que é eixo fundamental da geometria hiperbólica e que se conhece enquanto semi-plano superior. Tem a particularidade de tomar a parte superior do plano cartesiano embora sem “colher” o eixo x.

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