Sequência numérica se trata de um conjunto ordenado de números que segue uma regra de formação. Sequência diz respeito a um conjunto de elementos consecutivos, já numérica é relativo a números.
Uma sequência numérica pode ser finita, contando com um número limitado de elementos, ou infinita, com uma quantidade ilimitada de termos. E ela é algo essencial na matemática, sendo aplicada em diversas áreas, como na física, computação e economia.
Os números naturais, por exemplo, são o conjunto dos números inteiros positivos e os mesmos são uma das sequências numéricas mais básicas. Há como representar a sequência dos 100 primeiros números naturais como:(1, 2, 3, 4, …, 100), que é uma sequência aritmética tendo a razão 1.
Pode haver uma sequência com números primos. Outros exemplos de sequências ou progressões são: número de Bell, número de Catalan, número de Stirling, também o número de Bernoulli, e o número de Euler.
Para encontrar qualquer elemento da sequência numérica, se usa a seguinte fórmula:
an = a1 . q(n-1)
Em que:
an: é o número que se deseja obter;
a1: se trata do primeiro número daquela sequência;
q(n-1): já aqui é a razão elevada ao número que se deseja obter, menos 1.
Entender sobre essa fórmula é muito importante para a compreensão das sequências numéricas.
Tipos e sequencias numéricas
Existem diferentes tipos de sequências numéricas, sendo as mais comuns a aritmética, a geométrica e a harmônica.
A sequência aritmética (série aritmética ou progressão aritmética) é aquela onde a diferença entre cada termo é constante. Por exemplo, a sequência “3, 6, 9, 12, 15, …” é uma sequência aritmética com razão 3, pois a diferença entre cada termo será sempre 3. Podemos encontrar qualquer termo da sequência usando a fórmula an = a1 + (n-1)r, onde an é o termo geral da sequência, a1 é o primeiro termo e r é a razão.
Já a sequência geométrica (ou progressão geométrica) é aquela onde a razão entre cada termo é constante. Por exemplo: no caso da sequência (2, 4, 8, 16, 32, …), essa se trata de uma sequência geométrica com razão 2, já que cada termo é o dobro do termo anterior. Podemos encontrar qualquer termo da sequência com a ajuda da fórmula an = a1 * r^(n-1), onde an é o termo geral da sequência, a1 é o primeiro termo e r é a razão.
A sequência harmônica (ou série harmônica), por sua vez, é aquela onde cada termo é o inverso da soma dos termos anteriores. Um exemplo seria a sequência (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …), que é uma sequência harmônica, posto que cada termo é o inverso da soma dos termos anteriores. O termo geral dessa sequência pode ser calculado usando a fórmula an = 1/(1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n), onde an é o enésimo termo da sequência.
Além dessas sequências, há outras que podem ser definidas por uma fórmula geral, como a sequência dos números pares (2, 4, 6, 8, …) ou a dos números ímpares (1, 3, 5, 7, …).
Sequência convergente e divergente
A convergência da sequência é um conceito essencial em análise matemática, possibilitando delimitar uma sequência e estudar suas propriedades.
Uma sequência convergente é a que possui um limite finito, enquanto uma sequência divergente não tem um limite finito. Quando uma sequência não dispor de um limite finito, diz-se que ela diverge para mais ou para menos.
Para determinar a convergência de uma sequência, há como utilizar diversas técnicas, como o critério da razão, critério da comparação, critério da raiz e o critério do limite.
Importância das sequências numéricas
As sequências numéricas são essenciais porque elas permitem a modelagem matemática de fenômenos naturais e sociais.
Um exemplo seria a sequência dos números de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …): ela seria observada em diversas estruturas na natureza, como na disposição de folhas numa planta ou na forma espiralada das conchas de moluscos, por exemplo.
A sequência de Fibonacci é formada pela soma dos dois termos anteriores, começando em 1. Essa sequência pode ser escrita como Fn = Fn-1 + Fn-2.
Outra aplicação das sequências numéricas seria na resolução de problemas de progressões. Podemos, por exemplo, usar uma sequência aritmética a fim de encontrar a soma dos 100 primeiros números naturais.
Há como fazer a representação da sequência dos 100 primeiros números naturais como (1, 2, 3, 4, …, 100), que é uma sequência aritmética com razão 1. Para encontrar a soma dessa sequência, se usa a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética, que seria Sn = (a1 + an) * n / 2, onde: Sn se trata da soma dos n primeiros termos, a1 é o primeiro termo e an é o enésimo termo.
Aplicando essa fórmula, temos: Sn = (1 + 100) * 100 / 2 = 5050.
Sobre a aplicação da sequencia numérica para a computação
As sequências numéricas ainda são usadas na computação, em algoritmos de busca e ordenação de dados. O algoritmo de busca binária, por exemplo, faz uso de uma sequência ordenada a fim de encontrar um elemento específico com eficiência.
Esse algoritmo divide por várias vezes a sequência em duas metades, até que seja encontrado o elemento desejado ou que se conclua que o mesmo não está na sequência.
Além disso, as sequências numéricas tendem a se aplicadas na economia para a realização da análise de séries temporais de preços (para produtos e serviços). A análise de uma sequência de preços num dado período, por exemplo, indicaria as tendências de alta ou baixa, sazonalidade e também as variações cíclicas.
SOUSA, Priscila. (2 de Maio de 2023). Sequência numérica - O que é, conceito, tipos e importância. Conceito.de. https://conceito.de/sequencia-numerica