Limite de uma função é uma expressão usada no cálculo diferencial matemático e diz respeito à proximidade entre um valor e um ponto. Por exemplo, se uma função f tem um limite X num ponto t, quer dizer que o valor de f pode ser tudo o que estiver próximo de X quanto se desejar, com pontos suficientemente próximos de t embora diferentes.
A noção de limite admite várias acepções. Pode tratar-se de uma linha que separa dois territórios, de um extremo a que chega um determinado tempo ou de uma restrição ou limitação.
Para a matemática, um limite é uma grandeza fixa à qual se aproximam cada vez mais os termos de uma sequência infinita de grandezas.
Função, por outro lado, é um conceito que abrange diversas questões. Neste caso, importa a definição de função matemática (a relação f dos elementos de um conjunto A com os elementos de um conjunto B).
Os limites das funções já se analisavam no século XVII embora a notação moderna tenha surgido no século XVIII a partir do trabalho de diversos especialistas. Diz-se que Karl Weierstrass terá sido o primeiro matemático a propor uma técnica precisa, entre 1850 e 1860.
Em suma, uma função f com limite X em t quer dizer que essa função tende para o seu limite X perto de t, com f(x) tão próximo de X quanto possível, mas fazendo com que x seja diferente de t. No entanto, a ideia de proximidade é pouco precisa, pelo que uma definição formal requere mais elementos.
O estudo dos limites de uma função é fundamental para entender o comportamento das funções em pontos específicos. E alguns conceitos relacionados são: limite infinito, limite lateral, limite à direita e limite à esquerda.
- Um limite infinito ocorre quando o valor de uma função se aproxima de mais ou menos infinito, conforme a variável independente se aproxima de um ponto específico.
- O limite lateral de uma função é o valor que ela assume ao se aproximar de um ponto através da esquerda (limite à esquerda) ou da direita (limite à direita).
- Uma função é contínua num ponto quando seu limite nesse ponto é igual ao valor da função no ponto, enquanto uma função descontínua possui pontos onde isso não ocorre.
- Existem regras de cálculo, como a regra da cadeia, a regra do produto e a regra do quociente, voltadas para o cálculo de derivadas de funções compostas, produtos e quocientes de funções, respectivamente.
Limite infinito
Um limite infinito sucede quando o valor de uma função fica próximo de mais ou menos infinito, conforme a variável independente se aproxima de um dado ponto. Por exemplo, se f(x) tende a infinito quando x se aproxima de um ponto a, escrevemos: lim(x→a) f(x) = ∞.
Limite lateral
O limite lateral de uma função num ponto a é o valor que a função fica próxima no momento em que a variável independente se aproxima de a através da esquerda (limite à esquerda) ou direita (limite à direita). Se a função f(x) se aproxima de L quando x → a- (x se aproxima de a pela esquerda), então se escreve: lim(x→a-) f(x) = L. De igual modo, quando x se aproxima de a pela direita, há: lim(x→a+) f(x) = L.
Função contínua e descontínua
Uma função é considerada contínua num ponto caso o limite dessa função no ponto seja igual ao valor da função no ponto. Em outras palavras, lim(x→a) f(x) = f(a). Assim, essa função não possui interrupção. Por outro lado, a função descontínua é aquela que não é contínua no ponto, mas possui alguns problemas.
Ponto de descontinuidade e ponto de continuidade
Um ponto de descontinuidade sucede se uma função não é contínua num ponto específico. Por conseguinte, um ponto de continuidade sucede quando uma função é contínua num ponto específico.
Função diferenciável e derivada
Existe também a diferenciável num ponto, que ocorre se existir a derivada dessa função em tal ponto. A derivada de uma função f(x) se trata de uma medida da taxa de variação instantânea de uma função relacionada à variável independente.
Derivada parcial
Uma derivada parcial se caracteriza numa derivada relacionada a uma variável específica, levando em conta as demais variáveis como constantes. Elas são muito utilizadas em cálculos de diversas variáveis. Esse é um conceito importante para o cálculo vetorial.
Regra da cadeia, produto e quociente
A regra da cadeia se trata de uma ferramenta com o foco em calcular a derivada de uma função composta. Enquanto isso, a regra do produto é aplicada no cálculo da derivada de um produto de funções. Por fim, a regra do quociente é voltada a calcular a derivada de um quociente de funções.
Equipe editorial de Conceito.de. (29 de Novembro de 2013). Atualizado em 30 de Maio de 2023. Limite de uma função - O que é, conceito e definição. Conceito.de. https://conceito.de/limite-de-uma-funcao