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Limite de uma função

limite de uma função
O limite de uma unção se trata da proximidade entre um valor e um ponto

Limite de uma função é uma expressão usada no cálculo diferencial matemático e diz respeito à proximidade entre um valor e um ponto. Por exemplo, se uma função f tem um limite X num ponto t, quer dizer que o valor de f pode ser tudo o que estiver próximo de X quanto se desejar, com pontos suficientemente próximos de t embora diferentes.

A noção de limite admite várias acepções. Pode tratar-se de uma linha que separa dois territórios, de um extremo a que chega um determinado tempo ou de uma restrição ou limitação.

Para a matemática, um limite é uma grandeza fixa à qual se aproximam cada vez mais os termos de uma sequência infinita de grandezas.

Função, por outro lado, é um conceito que abrange diversas questões. Neste caso, importa a definição de função matemática (a relação f dos elementos de um conjunto A com os elementos de um conjunto B).

Os limites das funções já se analisavam no século XVII embora a notação moderna tenha surgido no século XVIII a partir do trabalho de diversos especialistas. Diz-se que Karl Weierstrass terá sido o primeiro matemático a propor uma técnica precisa, entre 1850 e 1860.

Em suma, uma função f com limite X em t quer dizer que essa função tende para o seu limite X perto de t, com f(x) tão próximo de X quanto possível, mas fazendo com que x seja diferente de t. No entanto, a ideia de proximidade é pouco precisa, pelo que uma definição formal requere mais elementos.

O estudo dos limites de uma função é fundamental para entender o comportamento das funções em pontos específicos. E alguns conceitos relacionados são: limite infinito, limite lateral, limite à direita e limite à esquerda.

Limite infinito

Um limite infinito sucede quando o valor de uma função fica próximo de mais ou menos infinito, conforme a variável independente se aproxima de um dado ponto. Por exemplo, se f(x) tende a infinito quando x se aproxima de um ponto a, escrevemos: lim(x→a) f(x) = ∞.

Limite lateral

O limite lateral de uma função num ponto a é o valor que a função fica próxima no momento em que a variável independente se aproxima de a através da esquerda (limite à esquerda) ou direita (limite à direita). Se a função f(x) se aproxima de L quando x → a- (x se aproxima de a pela esquerda), então se escreve: lim(x→a-) f(x) = L. De igual modo, quando x se aproxima de a pela direita, há: lim(x→a+) f(x) = L.

Função contínua e descontínua

Uma função é considerada contínua num ponto caso o limite dessa função no ponto seja igual ao valor da função no ponto. Em outras palavras, lim(x→a) f(x) = f(a). Assim, essa função não possui interrupção. Por outro lado, a função descontínua é aquela que não é contínua no ponto, mas possui alguns problemas.

Ponto de descontinuidade e ponto de continuidade

conceito de limite de uma função
Limite de uma função se trata de uma expressão utilizada no cálculo diferencial matemático

Um ponto de descontinuidade sucede se uma função não é contínua num ponto específico. Por conseguinte, um ponto de continuidade sucede quando uma função é contínua num ponto específico.

Função diferenciável e derivada

Existe também a diferenciável num ponto, que ocorre se existir a derivada dessa função em tal ponto. A derivada de uma função f(x) se trata de uma medida da taxa de variação instantânea de uma função relacionada à variável independente.

Derivada parcial

Uma derivada parcial se caracteriza numa derivada relacionada a uma variável específica, levando em conta as demais variáveis como constantes. Elas são muito utilizadas em cálculos de diversas variáveis. Esse é um conceito importante para o cálculo vetorial.

Regra da cadeia, produto e quociente

A regra da cadeia se trata de uma ferramenta com o foco em calcular a derivada de uma função composta. Enquanto isso, a regra do produto é aplicada no cálculo da derivada de um produto de funções. Por fim, a regra do quociente é voltada a calcular a derivada de um quociente de funções.

Citação

Equipe editorial de Conceito.de. (29 de Novembro de 2013). Atualizado em 30 de Maio de 2023. Limite de uma função - O que é, conceito e definição. Conceito.de. https://conceito.de/limite-de-uma-funcao